2026年5月，《Inventiones Mathematicae》发表了一篇由中国团队撰写的论文，该研究对数学界一项长达80年的难题取得了突破。论文作者包括清华大学/中国科学技术大学双聘教授马杰，以及来自清华大学和中国科学技术大学的博士生申武杰和谢晟捷。

此项研究的核心在于对1947年由Paul Erdős提出的概率方法进行了指数级改进。Erdős的这一方法是概率组合学的基石，但其局限性在近80年间一直未能被根本性超越。

Erdős的方法形象地说，是模拟投掷一枚硬币来为完全图的边着色，例如，在足够大的社交网络中，必然存在相互认识或互不认识的群体。Erdős利用此方法证明了“足够大”的规模至少是指数级的。尽管在过去几十年里，该方法的上界不断被优化，例如在2023年已将上界从约4提升至3.7992，但其下界近80年来始终未有显著进展。

马杰团队提出的新思路，在概率方法中引入了几何概念。申武杰构思了“随机球图”模型，即将节点置于高维球面上，通过节点间的距离来决定边的颜色。高维球面的特性使得大部分点集中在赤道附近，随机选取的点对之间的距离集中在一个狭窄区间内，从而使得边的着色不再完全随机，而是受到球面几何结构的精确调控，这在一定程度上抑制了单色团的形成。

尽管球面模型在一定程度上增加了蓝色团的概率，但该团队通过在小规模图上的验证，发现无团着色的概率依然大于零，且收益超过了代价。关键的证明过程恰恰利用了高维球面独特的几何性质。

以r(k, 2k)这类Ramsey数为例，当Erdős的硬币方法应用于此，其下界底数是黄金比例(1+√5)/2，约等于1.618。马杰、申武杰和谢晟捷的研究将这一底数提升至(1+√5)/2 + 10⁻²¹，尽管这个数值的绝对增量极小（约10⁻²¹），但对于指数级增长的Ramsey数而言，这一微小的提升在k趋向无穷时具有巨大的意义，意味着他们首次提出了超越Erdős硬币方法的路径。这项研究标志着自Erdős以来，该领域首次实现了指数级的改进。

然而，这一新方法存在局限性，当两种颜色的禁忌团大小相同时，即Erdős最初关注的对角线情形，新方法的优势会消失。

该研究成果在数学界引起了广泛关注。论文在arXiv发布不到一周，组合数学领域的知名学者Gil Kalai便在博客上给予高度评价，称其模型“具有相当的独立研究价值”。剑桥大学的Julian Sahasrabudhe也表示惊讶，认为这项技术一直隐藏在人们的视野中。随后，Benny Sudakov和其学生进一步证明，即便不使用球面模型，高斯随机图同样有效，这为该方法的推广奠定了基础。2026年初，该方法还被推广到了多色Ramsey数问题。

马杰教授是清华大学丘成桐数学科学中心及中国科学技术大学的教授，他在组合数学领域成就卓著，曾获得国家优青、国家杰青等荣誉，并于2020年荣获ICA Hall Medal。博士生谢晟捷在高中时期已展现出数学天赋，本科期间多次在数学竞赛中获奖，2023年直博师从马杰。申武杰博士生，00后，高中时获得CMO三等奖，本科毕业于北京大学，现为清华大学丘成桐数学科学中心博士生，导师为丘成桐。他最初的研究方向并非Ramsey理论，但在偶然接触后，他提出了利用几何模型改进Erdős方法的想法，并与马杰、谢晟捷合作，历时一年完成了这项突破性研究。

与此同时，DeepMind的AlphaProof Nexus在2026年5月也公布了其在数学问题解决方面的进展，证明了Erdős开放问题中的9个和44个OEIS猜想。然而，与马杰团队的原创性突破不同，AI的研究主要集中在现有框架内的搜索和验证。正如陶哲轩所言，AI是优秀的助手，但原创性想法的提出仍是人类的独特优势。马杰团队的工作，是通过升级Erdős的方法本身，而非仅仅解决Erdős提出的具体问题，展现了数学前沿创造性洞察的价值。

1947年，Erdős用一枚硬币开启了概率组合学的新纪元。近80年后，中国年轻一代的数学研究者，以一个“把节点扔到球面上试试”的直觉，为这一领域带来了革命性的进展。